ベクトルの内積の意味とか定義とか証明とかを解説していく

最近、線形代数(ベクトル)を学びなおしており、ようやく内積について理解ができたので、内積の意味とか定義、証明などを分かりやすく解説していく。

そもそも、内積とは何か?

そもそも、内積とは何かというと、「あるベクトルの方向にどれだけのパワーが働いているか」を示したものに過ぎない。

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例えば、aベクトル方向にどれだけの力が働いているかを調べるとしよう。

aベクトルは、aベクトル方向に|a|だけ力が働いていることは分かる。では、bベクトルがaベクトル方向にどれだけ力が働いているかと言うと、|b|cosθ分だけ力が働いている。

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で、最終的に|a|と|b|cosθをかけ算したものが、内積a・bになるわけだ。

今回はaベクトル方向にどれだけのパワーが働いているかを調べたが、逆にbベクトル方向にどれだけパワーが働いているかを調べても、同じような公式の形になる。

ちなみに、内積は「スカラー積」と言う別名を持っている。(スカラーとは|a|とか|b|のやつ)

なぜ、内積はa・b = a1b1 + a2b2となるのか?

内積の公式に「a・b = a1b1 + a2b2」があるが、これは余弦定理を使えば証明できる。

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先ほどのaベクトルとbベクトルの座標を、それぞれa = (a1, a2), b = (b1, b2)とする

すると、以下の様に余弦定理が使える